POLÍGONOS REGULARES

Polígono é uma linha plana quebrada, fechada sobre si mesma. Se a linha quebrada for regular o polígono chama-se regular.

Qualquer polígono regular pode ser inscrito numa circunferência (todos os vértices do polígono pertencem à mesma circunferência. Diz-se que o polígono está inscrito na circunferência ou que a circunferência circunscreve o polígono.

Qualquer polígono regular pode ter nele inscrita uma circunferência. Neste caso, os pontos médios de todos os lados do polígono pertencem à mesma circunferência ou, dito de outra maneira, há uma circunferência que é tangente a todos os lados de um polígono regular.

Chama-se raio de polígono ao raio da circunferência que o circunscreve.

Chama-se apótema do polígono ao raio da circunferência nele inscrita. 


Construção de um triângulo regular dada a medida do lado

Desenha-se uma reta em que se marca a medida do lado, ficando determinados dois vértices (A e B).

Com um raio igual a [AB] e centros em A e em B desenham-se dois arcos que se intersetam num ponto C que é o terceiro vértice do triângulo.

Da união destes três pontos resulta o triângulo pretendido.

triangulo1

Construção de um quadrado dada a medida do lado

Desenha-se uma reta em que se marca a medida do lado, ficando determinados dois vértices (A e B).

Pelo ponto A traça-se uma perpendicular (pode ser com auxílio da régua e do esquadro). Com um raio igual a [AB] e centro em A desenha-se um arco de circunferência que interseta a perpendicular no ponto D. Com centro em D e em B traçam-se dois arcos que se intersetam no ponto C.

Da união ordenada destes quatro pontos resulta o quadrado pretendido.

quadrado1

Construção de um pentágono regular dada a medida do lado

Desenha-se uma reta em que se marca a medida do lado, ficando determinados dois vértices (A e B).

Pelos pontos A e B, desenham-se dois arcos de circunferência de raio igual ao lado do pentágono. Aproveita-se o ponto de concorrência destes arcos para traçar a perpendicular ao lado [AB].

A partir de L (ponto médio do lado [AB]) marca-se [LM]=[AB].

Une-se A com M e prolonga-se para poder marcar o ponto N, de tal forma que [MN]=[AL].

A medida de [AN] é a da diagonal do pentágono, pelo que, com centro em A e com abertura até N se desenha o arco que determina o ponto D.

Com centro em D e raio igual ao lado, desenham-se os arcos que permitem obter os pontos C e E.

Finalmente, unem-se, ordenadamente os pontos que são os cinco vértices do pentágono.

pentagono1

Construção de um hexágono regular dada a medida do lado

Desenha-se uma reta em que se marca a medida do lado, ficando determinados dois vértices (A e B).

Pelos pontos A e B, desenham-se dois arcos de circunferência de raio igual ao lado do hexágono. O ponto O em que estes arcos concorrem é o centro da circunferência em que se inscreve o polígono. Com centro em O desenha-se o arco de circunferência que determina os pontos C e F.

A partir de C marca-se o ponto D e a partir de F marca-se o ponto E, em qualquer dos casos, com o auxílio do compasso, transportando a medida do lado do hexágono, que é igual ao raio da circunferência que lhe é circunscrita.

Finalmente, unem-se, ordenadamente os pontos que são os seis vértices do hexágono.

hexagono1

Construção de um heptágono regular dada a medida do lado

Desenha-se uma reta em que se marca a medida do lado, ficando determinados dois vértices (A e B).

Considera-se o lado [AB] como sendo um dos catetos de um triângulo retângulo em B e cujos restantes ângulos medem 30° e 60°. 

A hipotenusa representa a medida do raio da circunferência circunscrita ao polígono, o que nos permite determinar o ponto O com o recurso à perpendicular ao meio do segmento [AB].

Desenhada a circunferência, basta transportar a medida do lado para obter os restantes vértices do polígono.

Finalmente, unem-se, ordenadamente os pontos que são os sete vértices do heptágono.

heptagon1

Construção de um octógono regular dada a medida do lado

Desenha-se uma reta em que se marca a medida do lado, ficando determinados dois vértices (A e B).

Levanta-se a perpendicular ao meio de [AB]. Com centro no ponto médio, desenha-se o arco de circunferência com raio igual a metade do lado e obtém-se o ponto M.

Com centro em M e raio igual a [MB] desenha-se o arco de circunferência que permite determinar o centro O da circunferência circunscrita ao octógono.

Desenhada a circunferência, basta transportar a medida do lado para obter os restantes vértices do polígono.

Finalmente, unem-se, ordenadamente os pontos que são os oito vértices do octógono.

octagono1

© José-António Moreira