RETA

PONTOS NOTÁVEIS DA RETA

A marca da passagem de uma recta por um plano é um ponto a que chamamos traço da recta no plano.

Numa reta podemos destacar alguns pontos que têm uma posição especial relativamente aos planos que determinam o referencial.

Consideram-se pontos notáveis de uma reta aqueles que são comuns à reta e a cada um dos planos de projeção e, também, os que pertencem à reta e a cada um dos planos bissetores dos diedros de projeção.

Na realidade, cada um destes pontos resulta da interseção da reta com os planos referidos, são marcas da passagem da reta por esses planos e chama-se, a cada um, traço da reta no plano respetivo.

É evidente que cada traço da reta é único. Uma reta só pode ter um traço em cada plano, porque só pode intersetar um plano uma única vez.

H – Traço em ν0

F – Traço em φ0

P – Traço em π0

Q – Traço em β1,3

I – Traço em β2,4


Traço no plano horizontal de projeção

Se a reta intersetar o plano horizontal de projeção, o ponto da reta em que tal acontece chama-se traço da reta no plano horizontal de projeção ou, mais simplesmente, traço horizontal da reta. Por razões óbvias, este ponto é nomeado pela letra H.

Um ponto, para pertencer ao plano horizontal de projecção, tem que ter cota nula e para pertencer à reta tem que ter as projeções sobre as projeções homónimas da reta.

O ponto da projecção frontal da reta que intersetar x dá a indicação de que esse ponto tem cota nula e só é necessario satisfazer a condição de pertença à reta.

Traço1


Traço no plano frontal de projeção

Se a reta intersetar o plano frontal de projeção, o ponto da reta em que tal acontece chama-se traço da reta no plano frontal de projeção ou, mais simplesmente, traço frontal da reta. Por razões óbvias, este ponto é nomeado pela letra F.

Um ponto, para pertencer ao plano frontal de projecção, tem que ter afastamento nulo e para pertencer à reta tem que ter as projeções sobre as projecções homónimas da reta.

O ponto da projecção horizontal da reta que intersetar x dá a indicação de que esse ponto tem afastamento nulo e só é necessario satisfazer a condição de pertença à reta.

Traço2


Traço no plano de perfil de projeção

Se a reta intersetar o plano de perfil de projeção, o ponto da reta em que tal acontece chama-se traço da reta no plano de perfil de projeção. Nomearemos este ponto pela letra P.

Um ponto, para pertencer ao plano de perfil de projecção, tem que ter abcissa nula e para pertencer à reta tem que ter as projeções sobre as projeções homónimas da reta. 

Se desenharmos uma perpendicular ao eixo x tirada por O encontraremos o ponto da reta em que a abcissa é nula.

Traço3


Traço no plano bissector dos diedros pares

Se a reta intersetar o plano β2,4, o ponto da reta em que tal acontece chama-se traço da reta em β2,4. Este ponto é nomeado, habitualmente, pela letra I.

Um ponto, para pertencer ao β2,4, tem que ter coordenadas simétricas e, portanto, projeções coincidentes e para pertencer à reta tem que ter as projeções sobre as projeções homónimas da reta. 

Basta procurar o ponto em que as projeções da reta se intersetam, o que satisfaz as condições de pertença à recta e, simultaneamente a β2,4.

Traço4


Traço no plano bissector dos diedros ímpares

Se a reta intersetar o plano β1,3, o ponto da reta em que tal acontece chama-se traço da reta em β1,3. Este ponto é nomeado, habitualmente, pela letra Q.

Um ponto, para pertencer ao β1,3, tem que ter coordenadas iguais e, portanto, projeções simétricas relativamente ao eixo x e para pertencer à reta tem que ter as projeções sobre as projeções homónimas da reta. 

Basta procurar o ponto em que as projeções da reta têm afastamento igual à cota, o que satisfaz as condições de pertença à reta e, simultaneamente a β1,3.

Traço5

A estratégia para determinar o ponto Q foi a seguinte:

Considerou-se o ângulo formado por r1 e pelo eixo x e fez-se a duplicação desse ângulo através da reta auxiliar que está representada a verde. Desta forma, o eixo x constitui-se como a bissetriz do ângulo formado por r1 e pela reta verde. Sabendo que a bissetriz de um ângulo é um eixo de simetria relativo aos lados do ângulo, garantimos que o ponto Q2 tem por simétrico Q1 e, por sua vez, que o ponto Q tem coordenadas iguais.


Nota importante

Não é obrigatório que todos os pontos notáveis que foram referidos existam numa reta, como também não é viável que não exista pelo menos um deles.

Se uma reta for paralela a um plano, isso significa que não o interseta e, portanto, não existirá traço nesse plano.

Daqui se poderá concluir que se uma recta não tem traço num plano é porque é paralela a esse plano.


Exemplo de resoluçao de um problema

Dadas as projeções da reta a, determinar os seus pontos notáveis.

Depois de representarmos as projecções da reta (a1 e a2), procuramos os pontos em que a reta tem uma das coordenadas nula.

Quando a projeção frontal interseta o eixo x, assinalamos o ponto H, que tem cota nula e pertence à reta.

Quando a projecção horizontal interseta o eixo x, assinalamos o ponto F, que tem afastamento nulo e pertence à reta.

Em O levantamos uma perpendicular que nos indica as projeções do ponto P, em que a reta tem abcissa nula.

O ponto I é localizado onde as duas projeções da reta se intersetam.

A partir de H2 desenhamos uma reta simétrica de a2, relativamente ao eixo x (no desenho, a verde). O ponto em que a reta verde interseta a1 determina a localização do ponto Q, que tem afastamento e cota iguais. Poderemos obter o mesmo resultado se, a partir de F1 desenhamos uma reta simétrica de a1. Essa reta passará por Q2.

TraçosReta
© José-António Moreira