RETA

REPRESENTAÇÃO DA RETA

Uma reta é determinada por quaisquer dois dos seus pontos ou por um ponto e pela direção da recta.

As projeções de uma reta determinam-se pelas projeções de dois quaisquer dos seus pontos ou pela projeção de um ponto e pelas direções das respetivas projeções.


Em dupla projeção ortogonal, uma recta r é representada por duas projeções, habitualmente, no plano horizontal de projeção (r1) e no plano frontal de projeção (r2).

Cada uma das projeções da recta é uma recta que é o lugar geométrico das projecções dos pontos da recta no plano respetivo.



Desta forma, a projeção horizontal da reta contém as projeções horizontais de todos os pontos da reta e a projeção frontal contém as projeções frontais de todos os pontos da reta.

Para que uma reta fique determinada, basta que se conheçam dois dos seus pontos ou um ponto e a direção da reta.

Da mesma maneira, teremos as projeções de uma reta a partir das projeções de dois dos seus pontos ou a partir de um ponto e da direção das respetivas projeções.


Exemplo de reta definida por dois pontos

São dadas as coordenadas dos dois pontos A e B. A reta r1 que contém as projeções horizontais dos pontos é a projeção horizontal da reta; a reta r2 que contém as projeções frontais dos pontos é a projeção frontal.



Exemplo de reta definida por um ponto e as direções das suas projeções

São dadas as coordenadas de um ponto A, a direção da projeção horizontal da reta (um ângulo de 30° com o eixo x, de abertura para a direita) e a direção da projeção frontal (um ângulo de 45°, de abertura para a esquerda).

A reta r1 contém a projeção horizontal do ponto A e tem a direcção das rectas que fazem 30° com o eixo x, com abertura para a direita e é a projeção horizontal da reta; a reta r2 contém a projeção frontal do ponto A e tem a direcção das rectas que fazem 45° com o eixo x, com abertura para a esquerda e é a projeção frontal da reta.

(os ângulos são considerados, sempre, na parte positiva do plano a que dizem respeito – os ângulos das projeções horizontais são marcados abaixo de x e os ângulos da projeções frontais são marcados acima d e x).



Condições para que um ponto pertença a uma reta

Para que um ponto pertença a uma reta é necessário que as suas projeções se situem sobre as projeções da reta, de tal forma que a projeção horizontal do ponto pertença à projeção horizontal da reta e a projeção frontal do ponto pertença à projeção frontal da reta.

Um ponto pertence a uma reta se as suas projeções pertenceram às projeções homónimas da reta.

No exemplo que se segue, apenas o ponto A pertence à reta r. Os pontos B e C não têm as duas projeções sobre as projeções da reta e os pontos D e E, apesar de terem as projeções sobre as projeções da reta, não se verifica que aconteça sobre as projeções do mesmo nome da reta.



Projeções de pontos pertencentes a uma reta

Dadas as projeções de uma reta, basta que seja dada uma das coordenadas de um dos seus pontos, de forma explícita ou implícita, para que esse ponto fique determinado.

Por exemplo, numa recta r, determinar os pontos A, que tem 2 de cota; o ponto B, que tem 2 de afastamento; o ponto C que pertence ao plano horizontal de projecção.

Na figura abaixo, o ponto A é determinado a partir da sua cota; o ponto B é determinado a partir do seu afastamento; o ponto C é determinado, porque, sendo do plano horizontal, tem que ter cota nula.

Em qualquer um dos três casos, só é dada uma coordenada, mas cada ponto está determinado pela condição de pertença à reta – uma projeção está sobre uma das projeções da reta; a outra tem que estar sobre a outra projeção.



© José-António Moreira