• Plano

Planos definidos por duas retas.
Retas pertencentes a um plano.
Retas horizontais e frontais de um plano

1

Considera um plano α definido por duas retas concorrentes, r e s, sabendo que:
• a reta s pertence ao β2,4 contém o ponto P (0; -3; 3) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 40° (ae) com o eixo x;
• a reta r é concorrente com a reta s no ponto P e o seu traço frontal é o ponto F, com 4 de abcissa e -2 de cota.
Desenha as projeções de duas retas horizontais, h e h', contidas no plano α, sabendo que h tem 5 de cota e h' tem 2 de cota.

2

Considera um plano α definido por duas retas concorrentes, r e s, sabendo que:
• a reta s pertence ao β2,4 contém o ponto P (0; -3; 3) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 40° (ae) com o eixo x;
• a reta r é concorrente com a reta s no ponto P e o seu traço frontal é o ponto F, com 4 de abcissa e -2 de cota.
Desenha as projeções de uma reta horizontal h, com -2 cm de cota, pertencente ao plano α.

3

Desenha as projeções de uma reta horizontal h, contida num plano α, sabendo que:
• o plano α é definido por duas retas verticais, v e s;
• a reta v contém o ponto R (-2; 2; 1) e a reta s contém o ponto S (2; 5; 6);
• a reta h tem 3 cm de cota.

4

Considera um plano α definido por duas retas concorrentes, f e r, sabendo que:
• a reta f é frontal, contém o ponto A (0; 4; 2) e o seu traço horizontal é o ponto H, com 3 cm de abcissa;
• a reta r contém o ponto R (3; -2; 5) e é concorrente com a reta f no ponto A.
Desenha as projeções de duas retas frontais (de frente), f' e f", pertencentes ao plano α, sabendo que f' contém o ponto R e f" tem afastamento nulo.

5

Desenha as projeções de duas retas frontais, f e f', contidas num plano δ, sabendo que:
• o plano δ é definido pelas retas t e r, concorrentes no ponto A (2 ;4; 4);
• a reta t é de topo;
• a reta r pertence ao β1,3 e intersecta o eixo x num ponto M, com -3 cm de abcissa;
• a reta f tem 3 cm de afastamento e a reta f' tem -2 cm de afastamento.

6

Desenha as projeções de uma reta horizontal h, contida num plano β, sabendo que:
• o plano β é definido pelo ponto P (-2; 3; 5) e pela reta s;
• a reta s contém os pontos A (2; 2; 4) e B (4; 3; 2);
• a reta h contém o ponto B.

7

Determina as projeções da reta n, contida no plano oblíquo α.
• o plano α é definido pelo ponto A (6; 2; 7) e pela reta r;
• a reta r contém os pontos B (0; 5; -5) e C (-4; -4; 4);
• a reta n é horizontal e é concorrente com a reta r no ponto C.

8

Determina as projeções de uma reta frontal f, contida num plano α.
• o plano α contém o ponto P (-2; 1; -6) e uma reta horizontal h;
• a reta h faz, com o plano frontal de projeção, um ângulo de 45° (ad) e o seu traço frontal é o ponto F, com 4 de abcissa e 4 de cota;
• a reta frontal f tem 3 cm de afastamento.

9

Considera um plano α definido por duas retas concorrentes, h e f, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto P (0; 3; 2);
• a reta h é horizontal e faz um ângulo de 50° (ae) com o plano frontal de projeção;
• a reta f é frontal e faz um ângulo de 40° (ad) com o plano horizontal de projeção.
Desenha as projeções de uma reta r, pertencente ao plano α, sabendo que r contém o ponto P e que a sua projeção horizontal faz um ângulo de 30° (ad) com o eixo x.

10

Considera um plano α definido por uma reta h e por um ponto P, sabendo que:
• a reta h é horizontal, tem cota nula e faz um ângulo de 45° (ad) com o eixo x;
• o ponto P tem 2 cm de afastamento, pertence ao β1,3 e a sua linha de chamada dista 5, para a direita, do ponto de intersecção da reta h com o eixo x.
Desenha as projeções de uma reta horizontal h', com 4 de cota, pertencente ao plano α.

11

Desenha as projeções de uma reta frontal f, contida num plano α, sabendo que:
• o plano α é definido pelo ponto P (-4; 0; 0) e pela reta r;
• o traço horizontal da reta r é o ponto H, com abcissa nula e 5 de afastamento, e o traço frontal de r é o ponto F, com 4 de abcissa e 3 de cota;
• a reta f tem 3 de afastamento.

12

Considera um plano α definido pelos pontos A (-1; 2; 4), B (1; 0; 4) e C (4; 4; 2).
Desenha as projeções de uma reta frontal t, que pertence ao plano a, sabendo que t contém o ponto C.

13

Desenha as projeções de uma reta horizontal h, contida num plano α, sabendo que:
• o plano α é definido pelos pontos P (-2; 2; 3), R (3; 0; 0) e S (6; 1; -3);
• a reta h tem 4 de cota.

14

Considera um plano α definido por duas retas concorrentes, r e s, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto P (0; 3; 4);
• a reta r contém o ponto A (-5; 4; 1) e a reta s contém o ponto B (3; 6; 2).
Desenha as projeções de uma reta horizontal h, pertencente ao plano α, sabendo que h contém o ponto P.

15

Considera um plano α definido por duas retas concorrentes, p e r, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto A (2; 6; 1);
• a reta p é de perfil e contém o ponto S, com 2 de afastamento e 5 de cota;
• a reta r contém o ponto C (6; 1; 3).
Desenha as projeções de uma reta horizontal h, pertencente ao plano α, sabendo que h contém o ponto C.

16

Desenha as projeções de uma reta frontal (de frente) f, contida num plano δ, sabendo que:
• o plano δ é definido pelo ponto R (5; 3; 2) e pela reta p;
• a reta p é de perfil, contém o ponto P (3; 5; 1) e o seu traço frontal é o ponto F, com 6 cm de cota;
• a reta f tem 2 cm de afastamento.

17

Considera um plano α definido por duas retas concorrentes, h e p, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto P (2; 5; 4);
• a reta h é horizontal e faz um ângulo de 50° (ad) com o plano frontal de projeção;
• a reta p é de perfil e o seu traço horizontal é o ponto H, com 2 de afastamento.
Desenha as projeções de uma reta r, contida no plano α, sabendo que r é concorrente com a reta h no ponto A, com 2 de afastamento e que a sua projeção frontal faz um ângulo de 40° (ae) com o eixo x.

18

É dado um plano α, definido por duas retas, r e s. A reta r passa por A (2; 2; 1) e por B (-1; 1; 3). A reta s contém o ponto C (0; 2; 4) e é concorrente com r no ponto B.
Desenha as projeções de uma outra reta, m, sabendo que esta está contida em α e que o seu traço frontal tem 5 de abcissa e a projeção horizontal faz um ângulo de 45° (ad) com o eixo x.

19

É dado um plano α, definido por duas retas, r e s. A reta r passa por A (2; 2; 1) e por B (-1; 1; 3). A reta s contém o ponto C (0; 2; 4) e é concorrente com r no ponto B
Desenha as projeções de uma reta f, frontal, com 3 de afastamento e contida em α.

20

Considera os pontos R (3; 2; 2), S (-2; 1; 5) e T (-1 ; 4; 2). Um plano α está definido por duas retas paralelas: a reta b, que passa por R e S, e a reta b’, que passa por T.
Determina as projeções de uma reta h, horizontal, com 3 de cota e contida em α.

21

Um plano α está definido por duas retas, h e f. A reta h é horizontal, tem 3 de cota e faz, com o Plano Frontal de Projeção, um ângulo de 45° (ad). A reta f é frontal, tem 2 de afastamento e faz, com o Plano Horizontal de Projeção, um ângulo de 30° (ad).
Desenha as projeções de uma outra reta frontal, f', contida no plano, com 4 de afastamento.

22

É dado um plano α, definido por duas retas, r e h. A reta r é uma reta oblíqua e é concorrente como eixo x num ponto M e a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45° (ad). As projeções da reta r são perpendiculares entre si. A reta h é horizontal, tem 3 de cota e faz um ângulo de 45° (ae) com o Plano Frontal de Projeção.
Desenha as projeções de uma reta f, frontal, pertencente ao plano e com 6 de afastamento.

23

É dado um plano α, definido por duas retas, r e p, concorrentes em A (2; 1; 4). A reta p é de perfil e contém o ponto B (3; 1). A reta r é oblíqua e contém o ponto C (-1; 4; 2).
Desenha as projeções de uma reta h, horizontal, contida no plano e com 3 de cota.

24

É dado um plano α, definido por duas retas, r e h, concorrentes em P (0; 3; 2). A reta r é oblíqua e as suas projeções são paralelas entre si. A sua projeção horizontal faz um ângulo de 30° (ad) com o eixo x. A reta h é horizontal e faz um ângulo de 45° (ad) com o Plano Frontal de Projeção.
Desenha as projeções de uma reta f, frontal, contida no plano e que passa por P.

25

Um plano α está definido por duas retas, h e f, concorrentes. A reta h é horizontal, tem 2 de cota e faz, com o Plano Frontal de Projeção, um ângulo de 60° (ae). A reta f é frontal, tem 4 de afastamento e faz, com o Plano Horizontal de Projeção, um ângulo de 45° (ae).
Desenha as projeções de uma reta h', horizontal, pertencente ao plano e com 4 de cota.

26

Um plano α está definido por duas retas paralelas, as retas r e s. A reta r contém o ponto A (2; 3; 2) e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 45° (ae) com o eixo x. A reta r tem as projeções paralelas entre si. A reta s contém o ponto B (-2; 5; 3).
Desenha as projeções de uma reta m, contida no plano α e paralela às retas r e s. Sobre a reta m sabe-se, ainda, que o seu traço frontal tem -5 de abcissa.

27

É dado um plano α, definido por duas retas oblíquas paralelas, r e s. A reta r contém os pontos A (2; 3; -1) e B (-3; 1; 5). A reta s contém o ponto C (-3; 3; 3).
Desenha as projeções de uma reta h, horizontal, contida no plano e com 4 de cota.
Desenha as projeções de uma outra reta horizontal, h', contida no plano e com 1 de cota.
Desenha as projeções de uma terceira reta horizontal, h", contida no plano e com cota nula.

28

É dado um plano α, definido por duas retas oblíquas paralelas, a e b. A reta a contém os pontos R (-2; -1; 3) e S (3; 5; 1). A reta b contém o ponto T (3; 3; 4).
Desenha as projeções de uma reta f, frontal, contida no plano e com 2 de afastamento.
Desenha as projeções de uma outra reta frontal, f', contida no plano e com 3 de afastamento.
Desenha as projeções de uma terceira reta frontal, f", contida no plano e com afastamento nulo.

29

Um plano α está definido por duas retas frontais, f e f', paralelas. A reta f contém o ponto A (0; 4; 2) e faz, com o Plano Horizontal de Projeção, um ângulo de 45° (ad). A reta f' contém o ponto B (2; 1; 3).
Desenha as projeções de uma terceira reta frontal, f", sabendo que pertence a α e tem 3 de afastamento.

30

Um plano α está definido por duas retas horizontais, h e h', paralelas. A reta h contém o ponto M (3; 2; 2) e faz, com o Plano Frontal de Projeção, um ângulo de 45° (ae). A reta h' contém o ponto N (-1; 1; 4).
Desenha as projeções de uma terceira reta horizontal, h", sabendo que pertence a α e tem 1 de cota.

31

Um plano α está definido por duas retas, m e h, concorrentes no ponto P (0; 2; 4). A reta m é passante (oblíqua) e faz, em projeção frontal, um ângulo de 45° (ad) com o eixo x. A reta h é horizontal e faz, com o Plano Frontal de Projeção, um ângulo de 45° (ae).
Desenha as projeções de uma reta f, frontal, do plano, passando por P.

32

Um plano α está definido por duas retas, r e p, respectivamente passante (oblíqua) e de perfil. A reta p está definida por A (-2; 1; 4) e B (3; 2). A reta r é concorrente com p no ponto A e com o eixo x num ponto C, com 3 de abcissa.
Desenha as projeções de uma reta h, horizontal, pertencente ao plano e passando por A.


Retas de maior declive e de maior inclinação de um plano

33

Desenha as projeções de uma reta d, contida num plano α, sabendo que:
• o plano α é definido por duas retas frontais paralelas, f e f';
• a reta f contém o ponto S (0; 1; 2) e faz um ângulo de 45° (ad) com o plano horizontal de projeção;
• a reta f' contém o ponto R (1; 5; 5);
• a reta d contém o ponto R e é uma reta de maior declive do plano α.

34

Desenha as projeções de uma reta i, contida num plano α, sabendo que:
• o plano α é definido por duas retas horizontais paralelas, h e h';
• a reta h faz um ângulo de 30° (ad) com o plano frontal de projeção e o seu traço frontal é o ponto F (4; 0; 3);
• a reta h' contém o ponto P (3; -2; 5);
• a reta i contém o ponto P e é uma reta de maior inclinação do plano α.

35

Desenha as projeções de uma reta de maior inclinação i do plano α, sabendo que:
• o plano α é definido pelo ponto P (1; 3; 5) e por uma reta horizontal h;
• a reta h contém o ponto A (-3; 2; 3) e faz um ângulo de 40° (ae) com o plano frontal de projeção;
• a reta i contém o ponto P.

36

Recta pertencente a um plano e a um dos bissetores. Recta pertencente a um plano e a um dos planos de projeção

É dado um plano α, definido por duas retas oblíquas paralelas, r e s. A reta r contém os pontos A (2; 2; 3) e B (-1 ; -1 ; 4). A reta s contém o ponto C (-1 ; 3; 1). Determina as projeções das retas q e i, respectivamente as retas de intersecção de α com o β1,3 e com o β2,4.

37

Um plano δ está definido por duas retas concorrentes, a e b. A reta a passa pelo ponto R (-1; 4; 1,5) e o seu traço frontal tem 1 de abcissa e 2 de cota. A reta b é concorrente com a em R e passa por S (3; 2;-1).
Determina as projeções das retas q e i, respectivamente as retas de intersecção de δ com o β1,3 e com o β2,4.

38

Um plano δ está definido por duas retas, f e h. A reta f é frontal, tem 2 de afastamento e faz um ângulo de 60° (ad) com o Plano Horizontal de Projeção. A reta h é horizontal, tem 4 de cota e faz um ângulo de 45° (ad) com o Plano Frontal de Projeção.
Determina as projeções das retas q e i, respectivamente as retas de intersecção de δ com o β1,3 e com o β2,4.

39

O plano δ é definido por duas retas, a e b, concorrentes em P (0; 1; 3). A reta a tem as suas projeções paralelas entre si e o seu traço horizontal tem 4 de abcissa. A projeção frontal de b é perpendicular à projeção frontal de a e a sua projeção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 60° (ae). 
Determina as projeções da reta f, a reta de intersecção de δ com o Plano Frontal de Projeção.
Determina as projeções da reta h, a reta de intersecção de δ com o Plano Horizontal de Projeção.

40

Um plano δ está definido por duas retas paralelas, a e b. A reta a passa pelo ponto A (0; 2; 2), o seu traço frontal tem 6 de cota e a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45° (ad). A reta b passa pelo ponto B (0; 1; 5).
Determina as projeções da reta f, a reta de intersecção de δ com o Plano Frontal de Projeção.
Determina as projeções da reta h, a reta de intersecção de δ com o Plano Horizontal de Projeção.

41

Um plano δ está definido por duas retas oblíquas, a e b, paralelas entre si. A reta a passa por A (2; 3,5; 2) e a sua projeção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45° (ad). O seu traço horizontal tem 5 de afastamento. A reta b contém o ponto B (2; -1; 4).
Determina as projeções das retas h e f, respectivamente as retas de intersecção de δ com o Plano Horizontal de Projeção e com o Plano Frontal de Projeção.

42

Considera um plano α definido por três pontos: A (3; 2; 5), B (1; 4; 2) e C (-2; 2; 2).
Desenha as projeções da reta i, a reta de intersecção do plano com o β1,3.


Pontos pertencentes a um plano

Determina as projeções de um ponto P, pertencente a um plano α, sabendo que:
• o plano α é definido por duas retas, r e s, concorrentes no ponto B (0; 2; 5);
• a reta s contém o ponto A (3; 4; 1) e a reta r contém o ponto C (-4; 5; 3);
• o ponto P tem 4 de afastamento e 2 de cota.

43

Considera um plano α definido pelos pontos A (-3; 0; 4), B (0; 4; 6) e C (4; 1; 2). Verifique se o ponto P (1; 2; 3) pertence ao plano α.

44

Considera um plano α definido por duas retas horizontais paralelas, h e h', sabendo que:
• a reta h contém o ponto A (-2; 1; 4) e faz um ângulo de 40° (ad) com o plano frontal de projeção;
• a reta h' contém o ponto B (1; 2; 1).
Determina as projeções dos pontos P (2; 5) e T (4; -3), pertencentes ao plano α.

45

Considera um plano α definido por uma reta f e por um ponto Q, sabendo que:
• a reta f é frontal, faz um ângulo de 60° (ae) com o plano horizontal de projeção e o seu traço horizontal é o ponto H, com abcissa nula e 5 de afastamento;
• o ponto Q tem -2 de abcissa e 2 de afastamento e pertence ao β1,3.
Determina as projeções dos pontos A (4; 5) e B (-2; 2), contidos no plano α.

46

Determina as projeções de um ponto Q, pertencente a um plano α, sabendo que:
• o plano α é definido pelo ponto M (5; 2; 1) e pela reta p;
• a reta p é de perfil e contém os pontos A (2; 2; 6) e B, com 5 de afastamento e 2 de cota;
• o ponto Q tem 3 de afastamento e 3 de cota.

47

Um plano α está definido por uma reta a e por um ponto C (2; 1; 2). A reta p é de perfil e contém os pontos A (-2; 2; 5) e B (-2; 4; 1).
Determina as projeções do ponto P (2; 3), pertencente ao plano.

48

O plano α está definido pela reta h, horizontal, e por um ponto P (-1 ; 4; 2). A reta h faz um ângulo de 40° (ae) com o Plano Frontal de Projeção e contém o ponto R (2; 3; 4).
Determina as projeções do ponto A (1 ; 3) pertencente a α.

49

O plano α está definido pelos pontos A (-2; 2; 5), B (1; 4; 1) e C (3; 2; 2).
Determina as projeções do ponto P (3; 4), pertencente ao plano.

50

Um plano α está definido por duas retas oblíquas paralelas, r e s. A reta r passa pelo ponto R (-2; 2; 3), a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45° (ad) e o seu traço frontal tem -2 de cota. A reta s passa por S (2; 2; 6).
Desenha as projeções do triângulo [ABC], contido em α, sendo A (2; 5), B (1; 3) e C (3; 9).

51

Considera um plano α definido por duas retas paralelas, a e b. A reta a passa por R (2; 3; 2) e a sua projeção horizontal faz, com o eixo x, um ângulo de 45° (ad) e que o seu traço frontal tem -1 de cota.
A reta b passa por S (-1 ; 3; 4). Determina as projeções dos pontos A e B, pertencentes ao plano, sabendo:
A tem 1 ,5 de abcissa e 3 de cota;
• B tem -3 de abcissa e 2 de afastamento.

52

É dado um plano α, definido por duas retas horizontais paralelas, h e h'. A reta h contém o ponto A (0; 5; 3) e faz um ângulo de 45° (ad) com o Plano Frontal de Projeção. A reta h' contém o ponto B (0; 2; 5).
Desenha as projeções de um triângulo [PQR], contido no plano, sendo P (5; 1), Q (6; 5) e R (2; 6).


Planos definidos pelos seus traços. Traços de um plano nos planos de projeção

53

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas paralelas, a e b, sabendo que:
• a reta a contém o ponto A (-2; 2; 4) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 30° (ae) e 50° (ad) com o eixo x;
• a reta b contém o ponto B (4; 1; 1).

54

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas concorrentes, f e r, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto B (-3; 5; 4);
• a reta f é frontal e o seu traço horizontal é o ponto H (0; 5; 0);
• a reta r contém o ponto A (0; 1; 2).

55

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas concorrentes, h e f, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto P (-2; 3; 4);
• a reta h é horizontal e faz um ângulo de 40° (ad) com o plano frontal de projeção;
• a reta f é frontal e faz um ângulo de 60° (ad) com o plano horizontal de projeção.

56

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas concorrentes, f e s, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto A (-2; 3; 3);
• a reta f é frontal (de frente) e o seu traço horizontal é o ponto H, com -4 de abcissa;
• a reta S pertence ao β1,3 e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 40° (ad) com o eixo x.

57

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α, sabendo que:
• o plano α é definido pelo ponto A (-5; 0; 2) e pela reta r;
• a reta r contém os pontos B (0; 2; 4) e C (4; 6; 1).

58

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas concorrentes, h e r, sabendo que:
• a reta h é horizontal, contém o ponto A (3; 2; 3) e faz um ângulo de 45° (ae) com o plano frontal de projeção;
• a reta r pertence ao β2,4 e a sua projeção frontal faz um ângulo de 60° (ae) com o eixo x.

59

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido pelos pontos A (2; 2; 2), B (-3; - 1; 2) e C (-6; 2; -6).

60

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas horizontais paralelas, h e h', sabendo que:
• a reta h faz um ângulo de 50° (ad) com o plano frontal de projeção e o seu traço frontal é o ponto F, com 2 de abcissa e 2 de cota;
• a reta h' contém o ponto P (-1; -1; 5).

61

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α definido por duas retas concorrentes, r e s, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto R (0; 0; 0);
• a reta r pertence ao β1,3 e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 45° (ae) com o eixo x;
• a reta s contém o ponto S (-3; 2; 6).

62

Determina os traços, nos planos de projeção, do plano oblíquo α.
• o plano oblíquo α é definido por três pontos, A, B e C;
• os pontos A e B pertencem ao bissector dos diedros ímpares: A tem -4 de abcissa e 4 de afastamento; B tem abcissa nula e -4 de cota;
• o ponto C pertence ao bissector dos diedros pares e tem 4 de abcissa e 4 de cota.

63

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α definido por duas retas frontais paralelas, f e f', sabendo que:
• a reta f contém o ponto A (2; 1; 1) e faz um ângulo de 30° (ad) com o plano horizontal de projeção;
• a reta f' contém o ponto B (0; 4; -2).

64

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α definido por duas retas paralelas, a e b, sabendo que:
• as retas a e b são de perfil;
• a reta a contém os pontos A (4; 4; 0) e B (4; 2; 2);
• a reta b contém o ponto C (1,5; 6; 2).

65

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α definido por duas retas concorrentes, f e p, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto P (2; 3; 3);
• horizontal de projeção;
• a reta p é de perfil e contém o ponto A, com 5 de afastamento e 1 de cota.

66

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas concorrentes, r e m, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto P (0; 2; 3);
• a reta r é oblíqua e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 30° (ae) e 40° (ad) com o eixo x;
• a reta m é fronto-horizontal.

67

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano de rampa α, sabendo que o plano contém a reta de perfil p definida pelos pontos A (3; 2; 4) e B (3; 5; 1).
Recorre à tripla projeção ortogonal.

68

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α, sabendo que:
• o plano α é definido pelo ponto P (2; 2; -4) e pela reta f;
• a reta f é frontal, tem afastamento nulo e intersecta o eixo x num ponto R, com 4 de abcissa;
• a reta f faz um ângulo de 40° (ad) com o eixo x.

69

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α que contém as retas a e b, sabendo que:
• as retas a e b são fronto-horizontais;
• a reta a tem 2 de afastamento e 4 de cota;
• a reta b tem 5 de afastamento e 1 de cota.

70

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α, sabendo que:
• o plano a é definido pelo ponto R (4; 0; 0) e pela reta p;
• a reta p é de perfil e contém os pontos A (0; 3; 5) e S, com -1 de afastamento e 3 de cota.

71

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α que contém as retas a e b, sabendo que:
• as retas a e b são fronto-horizontais;
• a reta a tem -3 de afastamento e 5 de cota;
• a reta b tem -1 de afastamento e -2 de cota.

72

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas concorrentes, m e r, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto P (2; 2; -6);
• a reta m é fronto-horizontal;
• a reta r contém o ponto R (-3; -3; -1).

73

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α, sabendo que:
• o plano a contém o ponto A (0; -1; 3) e uma reta m;
• a reta m é fronto-horizontal e tem 3 de afastamento e 5 de cota.

74

Desenha as projeções de duas retas concorrentes, a e p. Recorre à representação triédrica.
• a reta p é de perfil passante e contém o ponto R (2; 4; 2);
• a reta a é fronto-horizontal e tem 3 de cota.
Diz qual a posição do plano que contém as retas a e p em relação aos três planos de projeção.

75

É dado um plano α, definido por duas retas oblíquas, r e s, paralelas. A reta r passa pelo ponto A (-1 ; 3; 2) e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 30° (ad) com o eixo x. O traço frontal de r tem 6 de cota. A reta s contém o ponto B (2; 2; 1).
Determina os traços do plano α.

76

É dado um plano α, definido por duas retas, a e b, concorrentes no ponto P (0; 2; 4). A reta a tem as projeções paralelas entre si e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 45° (ae) com o eixo x. As projeções da reta b fazem, ambas, ângulos de 30° (ae) com o eixo x.
Determina os traços do plano.

77

É dado um plano α, definido por duas retas oblíquas, r e s. A reta r contém o ponto M (2; 1; 4) e o seu traço frontal tem 0 de abcissa e 7 de cota. A reta s é paralela à reta r e contém o ponto N (0; 2; 5).
Determina os traços do plano.

78

Desenha as projeções de uma reta oblíqua r, contida num plano oblíquo α:
• os traços do plano α fazem ambos ângulos de 40° com o eixo x, o traço horizontal com abertura para a esquerda e o traço frontal com abertura para a direita;
• a reta r interseta o plano frontal de projeção no ponto F, com 2 de cota, e a projecção frontal da reta faz um ângulo de 30° (ae) com o eixo x.

79

Desenha as projeções de uma reta oblíqua r, contida num plano α:
• o plano α é de rampa e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento e o seu traço frontal tem 3 de cota;
• o traço frontal da reta r é o ponto F, de abcissa nula, e a projeção frontal de r faz um ângulo de 45° (ae) com o eixo x.

80

Desenha as projeções de uma reta oblíqua s, contida num plano oblíquo α:
• os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 60° (ae) e 30° (ae) com o eixo x;
• a reta s interseta o plano frontal de projeção no ponto F, com -2 de cota, e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 40° (ae) com o eixo x.

81

Determina o traço frontal de um plano oblíquo α:
• o plano α contém a reta r definida pelos pontos A (-1; 5; 1) e B (2; 2; 3);
• o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 60° (ae) com o eixo x.

82

Desenha as projeções de uma reta m, contida num plano α:
• o plano α é de rampa e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento e o seu traço frontal tem 4 de cota;
• a reta m é fronto-horizontal e tem 2 de cota.

83

Desenha as projeções de duas retas horizontais, h e h', contidas num plano oblíquo α:
• o plano α é definido pelos seus traços horizontal e frontal que fazem, respetivamente, ângulos de 30° (ad) e 50° (ad) com o eixo x;
• a reta h tem 3 de cota e a reta h' tem -2 de cota.

84

Desenha as projeções de duas retas frontais, f e f', contidas num plano oblíquo α:
• os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ad) e 60° (ad) com o eixo x;
• a reta f tem 2 de afastamento e a reta f' tem -3 de afastamento.

85

Desenha as projeções de uma reta fronto-horizontal m, contida num plano de rampa α, sabendo que:
• o plano α é definido pelos seus traços horizontal e frontal que têm, respetivamente, 5 de afastamento e -3 de cota;
• a reta m tem 2 de cota.

86

Desenha as projeções de uma reta s, contida num plano oblíquo α:
• o plano α interseta o eixo x no ponto R, de abcissa nula, e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 50° (ae) e 30° (ad) com o eixo x;
• a reta s é oblíqua passante e a sua projeção frontal faz um ângulo de 45° (ae) com o eixo x.

87

Desenha as projeções de uma reta m, contida num plano α, sabendo que:
• o plano α é de rampa e o seu traço horizontal tem -4 de afastamento e o seu traço frontal tem 4 de cota;
• a reta m é fronto-horizontal e tem 3 de afastamento.

88

Determina o traço horizontal de um plano de rampa α:
• o plano α contém a reta fronto-horizontal a que tem 3 de afastamento e -5 de cota;
• o traço frontal do plano α tem 4 de cota.

89

Desenha as projeções das retas h, f e d, contidas num plano oblíquo α:
• o plano α é definido pelos seus traços horizontal e frontal que fazem, respetivamente, ângulos de 60° (ad) e 45° (ad) com o eixo x;
• a reta h é horizontal e tem 3 de cota;
• a reta f é frontal e tem 2 de afastamento;
• a reta d é uma reta de maior declive do plano α e contém o ponto P, de concorrência das retas h e f.

90

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α:
• o plano α contém a reta d definida pelos pontos A (0; 2; 2) e B (-4; -1; 6);
• a reta d é uma reta de maior declive do plano α.

91

Desenha as projeções das retas f e i, contidas num plano oblíquo α, sabendo que:
• o plano α é definido pelos seus traços horizontal e frontal que fazem, respetivamente, ângulos de 50° (ad) e 40° (ad) com o eixo x;
• a reta f é frontal e tem 3 de afastamento;
• a reta i é uma reta de maior inclinação do plano α e é concorrente com a reta f no ponto P, com 2,5 de cota.

92

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α:
• o plano α contém a reta i definida pelos pontos P (0; 2; 3) e R (-3; 5; 5);
• a reta i é uma reta de maior inclinação do plano α.

93

Desenha as projeções de uma reta i, contida num plano oblíquo α, sabendo que:
• os traços do plano α fazem ambos ângulos de 40° com o eixo x, o traço horizontal com abertura para a direita e o traço frontal com abertura para a esquerda;
• a reta i é uma reta de maior inclinação do plano α e o seu traço frontal é o ponto F, com -2 de cota.

94

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α:
• o plano α contém a reta d definida pelos pontos A (0; 3; 2) e B (-3; 0; 0);
• a reta d é uma reta de maior declive do plano α.

95

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano oblíquo α:
• o plano α contém a reta i que pertence ao bissetor dos diedros pares e cuja projeção frontal faz um ângulo de 45° (ae), com o eixo x;
• a reta i é uma reta de maior inclinação do plano α.

96

Desenha as projeções de uma reta oblíqua r, contida num plano oblíquo α.
• o plano α é definido pelos seus traços horizontal e frontal que fazem, respetivamente, ângulos de 30° (ad) e 45° (ad) com o eixo x;
• o traço frontal da reta r é o ponto F, com 4 de cota, e a projeção frontal de r faz um ângulo de 50° (ae) com o eixo x.

97

Desenha as projeções de uma reta oblíqua s, contida num plano oblíquo α:
• o plano α é definido pelos seus traços horizontal e frontal que fazem, respetivamente, ângulos de 30° (ad) e 60° (ae) com o eixo x;
• o traço horizontal da reta s é o ponto H, com 3 de afastamento, e a projeção horizontal de s faz um ângulo de 50° (ad) com o eixo x.

98

Desenha as projeções de uma reta m, contida num plano passante α:
• o plano α é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 2);
• a reta m é fronto-horizontal e tem 3 de cota.


Retas e pontos pertencentes a planos projetantes

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α, sabendo que:
• o plano α contém as retas h e t, concorrentes no ponto P (0; 3; 4);
• a reta h é horizontal e faz um ângulo de 45° (ad) com o plano frontal de projeção;
• a reta t é de topo.

99

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas concorrentes, f e v, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto A (0; 3; 5);
• a reta f é frontal e faz um ângulo de 50° (ad) com o plano horizontal de projeção;
• a reta v é vertical.

100

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas paralelas, h e h', sabendo que:
• as retas h e h' são horizontais;
• a reta h contém o ponto R (2; 3; 4) e faz um ângulo de 40° (ae) com o plano frontal de projeção;
• a reta h' contém o ponto S (0; 4; 4).

101

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas concorrentes, r e v, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto P (1; 2; 4);
• a reta r contém o ponto R (-2; 4; 1);
• a reta v é vertical.

102

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α, sabendo que:
• o plano α contém o ponto A (-4; 4; -2) e a reta v;
• a reta v é vertical e contém o ponto B (0; 4; 3).

103

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas concorrentes, r e t:
• as retas são concorrentes no ponto P do bissetor dos diedros ímpares com -3 de abcissa e 4 de afastamento;
• a reta r é oblíqua e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 60° (ad) e 40° (ad) com o eixo x;
• a reta t é de topo.

104

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas concorrentes, t e m:
• a reta t é de topo e contém o ponto R (0; 5; 3);
• a reta m é fronto-horizontal e pertence ao bissetor dos diedros ímpares.

105

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α, sabendo que:
• o plano α é definido pelo ponto S (-4; 3; 2) e pela reta t;
• a reta t é de topo e contém o ponto P (0; 1; 5).

106

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas concorrentes, h e v, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto P (-2; -2; 4);
• a reta h é horizontal e faz, com o plano frontal de projeção, um ângulo de 30° (ae);
• a reta v é vertical.

107

Determina os traços, nos planos de projeção, de um plano α definido por duas retas de topo, r e s, sabendo que:
• a reta r contém o ponto A (2; 2; 4) e a reta s contém o ponto B (-3; 5; -2).

108

Desenha as projeções de duas retas, p e v, sabendo que:
• as retas são concorrentes no ponto R (4; 2; 4);
• a reta p é de perfil e interseta o plano frontal de projeção no ponto F, com 6 de cota;
• a reta v é vertical.
Determina as projeções do traço horizontal da reta p recorrendo à terceira projeção da reta. Determina ainda os traços, nos planos de projeção, do plano α que contém as retas p e v.

109

Desenha as projeções das retas v e r, contidas num plano vertical α:
• o plano α faz um diedro de 45° (ad) com o plano frontal de projeção;
• a reta v é vertical e tem 3 de afastamento;
• a reta r é concorrente com a reta v no ponto P, com 4 de cota, e a sua projeção frontal faz um ângulo de 30° (ad) com o eixo x.

110

Desenha as projeções das retas t, f e r, contidas num plano de topo α:
• o plano α faz um diedro de 50° (ae) com o plano horizontal de projeção;
• a reta t é de topo e tem 5 de cota;
• a reta f é frontal e tem 4 de afastamento;
• a reta r contém o ponto de concorrência das retas t e f e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 30° (ae) com o eixo x.

111

Determina as projeções de um ponto P, pertencente a um plano vertical α, sabendo que:
• o plano α contém as retas horizontais, h e h';
• a reta h contém o ponto A (0; 2; 2) e faz um ângulo de 30° (ad) com o plano frontal de projeção;
• a reta h' tem 5 de cota;
• o ponto P pertence à reta h' e tem 3 de afastamento.

112

Determina as projeções dos pontos S, P e T, pertencentes a um plano vertical α:
• o plano α contém a reta r definida pelos pontos A (2; 3; 0) e B (-3; -2; -3);
S (5; 3), P (0; 5) e T (-4; 2).

113

Determina as projeções dos pontos R, S e I, pertencentes a um plano de topo α:
• o plano α contém a reta r definida pelos pontos A (0; 4; 2) e B (2; 3; 4);
• o ponto R tem 1 de abcissa e 6 de afastamento;
• o ponto S tem 5 de cota e pertence ao plano frontal de projeção;
• o ponto I tem 2 de afastamento e pertence ao bissetor dos diedros pares.

114

Determina as projeções dos pontos A, S, C e D, pertencentes a um plano horizontal α:
A (0; 2; 4);
• o ponto S tem 2 de abcissa e -6 de afastamento;
• o ponto C tem -3 de abcissa e pertence ao plano frontal de projeção;
• o ponto D tem -5 de abcissa e pertence ao bissetor dos diedros ímpares.

115

Desenha as projeções de uma reta oblíqua r, contida num plano vertical α:
• o plano α contém a reta s definida pelos pontos A (-2; 0; 5) e S (-5; -2; 2);
• a reta r contém o ponto C, com abcissa nula e 4 de cota, e interseta o plano horizontal de projeção no ponto H, com 3 de afastamento.

116

Determina as projeções de um ponto P, pertencente a um plano de perfil α:
• o plano α contém as retas p e v;
• a reta p é de perfil e contém os pontos A (3; 2; 1) e B do bissetor dos diedros ímpares com 6 de afastamento;
• a reta v é vertical e contém o ponto C (4; 5);
• o ponto P é o ponto de concorrência das retas p e v.
Recorre à terceira projeção da reta p no plano de perfil π0.

117

Desenha as projeções de um triângulo [ABC], contido num plano vertical α:
• o vértice A tem -2 de abcissa e 4 de cota e pertence ao plano frontal de projecção;
• o vértice B tem 1 de abcissa e 3 de afastamento e pertence ao plano horizontal de projeção;
• o vértice C tem 3 de abcissa e 6 de cota.

© José-António Moreira