INTERSEÇÃO PLANO/PLANO

Interseção de dois planos projetantes

Determina as projeções da reta de interseção i de um plano de topo θ com um plano vertical δ:
- o plano θ interseta o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa e faz um diedro de 45° (ad) com o plano horizontal de projecção;
- o plano δ contém o ponto A (-3; 1; 3) e faz um diedro de 30° (ae) com o plano frontal de projecção.

Determina as projeções da reta de interseção i dos planos θ e ν:
- o plano θ é de topo e faz um diedro de 40° (ad) com o plano horizontal de projecção;
- o plano ν é horizontal e tem 3 cm de cota.

Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos de topo, θ e δ:
- o plano θ interseta o eixo x num ponto com -2 cm de abcissa e faz um diedro de 40° (ad) com o plano horizontal de projeção;
- o plano δ contém o ponto P (4; 2; 3) e faz um diedro de 60° (ae) com o plano horizontal de projeção.

Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos verticais, δ e γ:
- o plano δ interseta o eixo x num ponto com 4 cm de abcissa e faz um diedro de 30° (ad) com o plano frontal de projeção;
- o plano γ contém o ponto A (-1; 0; 3) e faz um diedro de 60° (ad) com o plano frontal de projeção.

Determina as projeções da reta de interseção i dos planos φδ:
- o plano φ é frontal e tem 4 cm de afastamento;
- o plano δ é vertical e faz um diedro de 50° (ae) com o plano frontal de projeção.

Determina as projeções da reta de interseção i dos planos ν e φ:
- o plano ν é horizontal e tem 4 cm de cota;
- o plano φ é frontal e tem 3 cm de afastamento.


Interseção de um plano projetante com um não projetante

Determina a reta de interseção i de um plano vertical δ com um plano de rampa ρ.
- O plano vertical δ contém o ponto P (4; 0; 6) e faz um diedro de 45°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção;
- o plano de rampa ρ contém uma reta oblíqua r, que passa pelos pontos A (4; 2; 3) e B (0; 6; 1).

Determina as projeções da reta i de interseção do plano vertical δ com o plano de rampa ρ:
- o traço horizontal do plano δ faz um ângulo de 45° com o eixo x (ad) e interseta o mesmo eixo no ponto de abcissa nula;
- o plano de rampa ρ contém os pontos A (1; 4; 2) e B (-3; 1; 6).


Determina a reta de interseção i dos planos α e ν:
- o plano α é oblíquo e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 30° (ad) e 45° (ad) com o eixo x;
- o plano ν é horizontal e tem 3 de cota.

Determina as projeções da reta i de interseção do plano ν com o plano α.
- o plano ν é horizontal e contém o ponto A (5; 3; 7);
- o plano α é oblíquo e contém o ponto B (-5; 2; 3);
- o traço horizontal do plano α interseta o eixo x no ponto de abcissa nula e faz, com o mesmo eixo, um ângulo de 45° (ad).


Determina as projeções da reta de interseção i dos planos α e ω:
- o plano α é oblíquo e os seus traços fazem ambos ângulos de 40° com o eixo x, o traço horizontal com abertura para a esquerda e o traço frontal com abertura para a direita;
- o plano ω é frontal e tem 3 de afastamento.


Determina as projeções da reta de interseção i dos planos ν e ρ:
- o plano ν é horizontal e tem 3,5 de cota;
- o plano ρ é de rampa e o seu traço horizontal tem 4 de afastamento e o seu traço frontal tem 6 de cota.


Determina as projeções da reta de interseção i dos planos ω e ρ, sabendo que:
- o plano ω é frontal (de frente) e tem 4 de afastamento;
- o plano ρ é de rampa e os seus traços horizontal e frontal têm, respetivamente, 3 de afastamento e -7 de cota.


Determina as projeções da reta de interseção i dos planos ν e ρ, sabendo que:
- o plano δ é horizontal e tem 5 de cota;
- o plano ρ é passante e contém o ponto P (2; 2; 3).


Determina as projeções da reta de interseção i de um plano frontal ω com um passante ρ:
- o plano ω tem 4 de afastamento;
- o plano ρ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; -5; 2).


Determina as projeções da reta de interseção i dos planos δ e ρ, sabendo que:
- o plano δ é vertical, contém o ponto A (0; 0; 5) e faz um diedro de 45° (ad) com o plano frontal de projeção;
- o plano ρ é passante e contém o ponto P (4; 4; 2).


Considera um plano horizontal δ, com 3 de cota. Determine as projeções das retas q e i, de interseção do plano δ com o β(1,3) e com o β(2,4), respetivamente.


Considera um plano de topo δ, sabendo que a contém os pontos A (3; 4; -2) e B (-2; 1; 3). Determina as projeções das retas q e i, de interseção do plano δ com o β(1,3) e com o β(2,4), respetivamente.


Determina as projeções do ponto P, pertencente aos dois planos π e α:
- o plano π é de perfil e tem 2 de abcissa;
- o plano α interseta o eixo x num ponto com 7 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ad) e 50° (ad) com o eixo x;
- o ponto P tem 3 de afastamento.


Determina os traços, nos planos de projeção, de dois planos, α e δ:
- a reta de interseção i dos planos α e δ é uma reta passante, cujas projeções horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ad) e 30° (ad) com o eixo x;
- o plano δ é vertical;
- o plano α é oblíquo e contém o ponto P (6; 1), cuja abcissa é menor 4 do que a do ponto de interseção da reta i com o eixo x.


Determina os traços, nos planos de projeção, de dois planos, α e ν:
- a reta de interseção i dos planos α e ν é uma reta horizontal que contém o ponto A (0; 3; 2) e faz um ângulo de 45° (ad) com o plano frontal de projeção;
- o plano ν é horizontal;
- o plano α é oblíquo e contém o ponto P (-5; 5; 4).


Interseção de dois planos não projetantes

Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos oblíquos, α e β:
- o plano α interseta o eixo x num ponto com -2 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 30° (ae) e 60° (ad) com o eixo x;
- o plano β contém o ponto R (5; 0; 0) e os seus traços fazem ambos ângulos de 30° (ad) com o eixo x.

Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos oblíquos, α e β:
- o plano α interseta o eixo x num ponto com 1 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 60° (ae) e 45° (ae) com o eixo x;
- o plano β contém o ponto R (-4; 0; 0) e os seus traços fazem ambos ângulos de 30° com o eixo x, o traço horizontal com abertura para a esquerda e o traço frontal com abertura para a direita.


Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos de rampa, ρ e λ:
- os traços horizontal e frontal do plano ρ têm, respetivamente, 2 de afastamento e 6 de cota;
- o traço horizontal do plano λ tem 4 de afastamento e o traço frontal tem 3 de cota.


Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos de rampa, ρ e λ:
- os traços horizontal e frontal do plano ρ têm, respetivamente, 6 de afastamento e 4 de cota;
- o traço horizontal do plano λ tem -6 de afastamento e o traço frontal tem 6 de cota.


Determina a reta de interseção i dos planos ρ e λ:
- os planos ρ e λ são ambos de rampa;
- o traço horizontal do plano ρ tem 4 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota;
- o plano λ é definido pelo seu traço horizontal, que tem 6 de afastamento, e pelo ponto B (0; 3; 2).


Determina as projeções da reta de interseção i de um plano de rampa λ com um plano passante ρ:
- o traço horizontal do plano λ tem 5 de afastamento e o traço frontal tem 5 de cota;
- o plano ρ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (2; 4; 3).


Determina as projeções da reta comum aos planos α e ρ:
- o plano α é de rampa e contém os pontos P (0; 3; 4) e Q (2; 0; 7);
- o plano ρ é definido pelo eixo x e pelo ponto B (3; 8; 3).


Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos de rampa, α e ρ:
- o plano α contém o ponto M (0; -2; 5) e o seu traço horizontal tem 6 de afastamento;
- o traço horizontal do plano ρ tem 3 de afastamento e o traço frontal tem -3 de cota.


Determina as projeções da reta de interseção i dos planos α e ρ:
- o plano α é de rampa e o seu traço horizontal tem -2 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota;
- o plano ρ é passante e contém o ponto P (-2; 5; 4).


Considera um plano de rampa ρ, sabendo que o seu traço horizontal tem 6 de afastamento e o seu traço frontal tem 4 de cota.
Determina as projeções da reta de interseção i do plano ρ com o β
(1,3)


Considera um plano de rampa ρ, sabendo que o seu traço horizontal tem -6 de afastamento e o seu traço frontal tem 3 de cota.
Determina as projeções da reta de interseção i do plano ρ com o β
(2,4)


Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos oblíquos, α e β:
- os planos α e β intersetam o eixo x num mesmo ponto R, com 2 de abcissa;
- os traços horizontal e frontal do plano α fazem, respetivamente, ângulos de 60° (ad) e 25° (ad) com o eixo x;
- os traços horizontal e frontal do plano β fazem, respetivamente, ângulos de 50° (ae) e 60° (ae) com o eixo x.


Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos oblíquos, α e β:
- o plano α interseta o eixo x no ponto de abcissa nula e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ad) e 60° (ad) com o eixo x;
- o plano β contém o ponto R (4; 0; 0) e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 45° (ad) e 30° (ad) com o eixo x.


Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos oblíquos, α e β:
- o plano a interseta o eixo x num ponto com 5 de abcissa e os seus traços fazem ambos ângulos de 65° com o eixo x; o traço horizontal com abertura para a direita e o traço frontal com abertura para a esquerda;
- o plano r contém o ponto R (-9; 0; 0) e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 60° (ae) e 35° (ae) com o eixo x.
Considera que os traços horizontais e frontais dos planos α e β não se intersetam nos limites da folha do desenho.


Determina as projeções da reta de interseção i dos planos α e ρ:
- o plano α contém o ponto R (-2; 0; 0) e os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 30° (ad) e 60° (ae) com o eixo x;
- o plano ρ é passante e contém o ponto P (-5; -2; 5).


Considera um plano oblíquo α, sabendo que α contém o ponto R (2; 0; 0) e que os seus traços horizontal e frontal fazem, respetivamente, ângulos de 30° (ad) e 50° (ad) com o eixo x.
Determina as projeções das retas q e i, de interseção do plano α com o β
1,3 e com o β2,4, respetivamente.


Considera um plano oblíquo α definido pelos seus traços que fazem ambos ângulos de 40° com o eixo x, o traço horizontal com abertura para a direita e o traço frontal com abertura para a esquerda.
Determina as projeções das retas q e i, de interseção do plano α com o β
(1,3) e com o β(2,4), respetivamente.


Determina as projeções do ponto I do plano oblíquo α.
- o plano α é definido pelo ponto A (0; 3; 2) e pelo traço ;
- o traço faz um ângulo de 45° (ad) com o eixo x, intersetando-o num ponto X, com 7 de abcissa;
- o ponto I pertence ao β
(2,4) e tem 2 de abcissa.


Interseção de planos não definidos pelos seus traços

Determina as projeções da reta de interseção i dos planos α e δ.
- o plano α é definido por duas retas, h e f, concorrentes no ponto P (0; 3; 2);
- a reta h é horizontal e faz um ângulo de 60° (ad) com o plano frontal de projeção;
- a reta f é frontal e faz um ângulo de 30° (ae) com o plano horizontal de projeção;
- o plano δ é horizontal e tem 4 de cota.


Determina as projeções da reta de interseção i do plano vertical α com o plano oblíquo β.
- o plano α interseta o eixo x num ponto com 5 de abcissa e faz um diedro de 25° (ad) com o plano frontal de projeção;
- o plano β é definido por uma reta de maior declive d;
- a reta d contém o ponto P (-3; 2; 4) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 40° (ae) e 60° (ad) com o eixo x.


Determina as projeções da reta r de interseção do plano de topo θ com o plano oblíquo α.
- o plano θ contém o ponto P (-4; 2; 0) e faz um diedro de 40° (ae) com o plano horizontal de projeção;
- o plano α é definido por uma reta de maior inclinação i;
- a reta i é passante, interseta o eixo x num ponto com 5 de abcissa e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 45° (ad) e 30° (ad) com o eixo x.


Determina as projeções das retas q e i, de interseção do plano oblíquo α com o β1,3 e com o β1,3.
- o plano α é definido pelo ponto P (-5; 0; 0) e pela reta r;
- a reta r contém ,os pontos A (0; 1; 2) e B (4; 6; 0).


Determina as projeções das retas q e i, de interseção do plano oblíquo λ com o β1,3 e com o β2,4.
- o plano λ é definido por duas retas frontais, f e f';
- a reta f faz um ângulo de 45° (ad) com o plano horizontal de projeção e o seu traço horizontal é o ponto H (2; 2; 0);
- a reta f' contém o ponto P (-3; 4; 2).


Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos de rampa, ρ e ρ’.
- os traços horizontal e frontal o plano ρ têm, respectivamente, 4 de afastamento e 6 de cota;
- o plano ρ’ é definido por duas retas fronto-horizontais a e b;
- a reta a tem 5 de afastamento e 4 de cota e a reta b contém o ponto B (0; 1; 2).


Determina as projeções da reta de interseção i dos planos α e β.
- o plano α é definido por duas retas paralelas, a e b;
- a reta a contém os pontos A (0; 6; 1) e B (2; 3; 3) e a reta b contém o ponto C (5; 4; 1);
- o plano β é definido por duas retas, r e s, concorrentes no ponto S (-7; 2; 5);
- a reta r contém o ponto R (-5; 5; 2) e a reta s contém o ponto P (-9; 3; 3).


Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos oblíquos, α e β.
- o plano α contém o ponto R (7; 0; 0) e os seus traços horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 60° (ad) e 40° (ad) com o eixo x;
- o plano β é definido por uma reta de maior declive d;
- a reta d interseta o plano horizontal de projeção no ponto H (-6; 4; 0) e as suas projeções horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 45° (ad) e 60° (ae) com o eixo x.


Determina as projeções da reta r de interseção de dois planos oblíquos, α e β.
- o plano α interseta o eixo x num ponto com 4 de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, respectivamente, ângulos de 60° (ae) e 45° (ad) com o eixo x;
- o plano β é definido por uma reta de maior inclinação i;
- a reta i pertence ao β
1,3 contém o ponto A (-2,5; 2; 2) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 40° (ad) com o eixo x.


Determina as projeções da reta de interseção i de dois planos oblíquos, α e β.
- os planos α e β são ambos definidos por uma das suas retas de maior declive;
- a reta d é uma reta de maior declive do plano α e o seu traço horizontal é o ponto H (5; 3; 0);
- as projeções horizontal e frontal da reta d fazem, respectivamente, ângulos de 45° (ae) e 60° (ad) com o eixo x;
- a reta d' contém o ponto P (-3; 4; 2) e é uma reta de maior declive do plano β;
- as projeções da reta d' fazem ambas ângulos de 45° (ad) com o eixo x.


Determina as projeções da reta r de interseção de dois planos oblíquos, α e β.
- o plano α é definido por uma reta de maior declive d;
- a reta d contém o ponto A (5; 3,5; 1) e as suas projeções fazem ambas ângulos de 50° com o eixo x; a projeção horizontal com abertura para a esquerda e a projeção frontal com abertura para a direita;
- o plano β é definido por uma reta de maior inclinação i;
- a reta i contém o ponto B (-4; 5; 4) e as suas projeções fazem ambas ângulos de 50° (ae) com o eixo x.

© José-António Moreira